Jika kalian diharuskan menghitung perkalian dua digit atau mungkin pangkat tiga dari suatu bilangan, bagaimanakah kalian menghitungnya?
Sebagai contoh, perhatikan ilustrasi berikut.
Nah ilustrasi di atas menunjukkan perkalian vertikal, dikerjakan dari atas ke bawah... Jika kalian mengerjakan perkalian ini, pertama kita harus mengalikan 28 dengan 7, lalu 28 dengan 4, kemudian, hasil keduanya dijumlahkan dalam bentuk tangga... Umpph... Kalian merasa sedikit ribet..?? Mungkin saja tidak... Tapi, sesungguhnya saya akui metode vertikal ini agak sedikit ribet. Untuk melakukan perkalian 2 digit saja kita harus mengalikan sebanyak dua kali, kemudian hasilnya dijumlahkan lagi. Tingkat kesalahannya sangat tinggi!!!!!
Sedangkan dengan metode horisontal, kita dapat mengerjakannya dengan cara berikut:
Selain lebih akurat, lebih mudah, bahkan juga memungkinkan perhitungan yang lebih cepat. Plus, manfaat lain yaitu hemat kertas!!!
Hmmm... Mau tahu apa latar belakang metris? Bagaimana cara kerja metris ini? Dan pertanyaan-pertanyaan yang lain. Silakan simak di bawah..^^
==============================================================Sebagai contoh, perhatikan ilustrasi berikut.
Sedangkan dengan metode horisontal, kita dapat mengerjakannya dengan cara berikut:
Hmmm... Mau tahu apa latar belakang metris? Bagaimana cara kerja metris ini? Dan pertanyaan-pertanyaan yang lain. Silakan simak di bawah..^^
Metris dikembangkan oleh Stephanus Ivan Goenawan. Sekarang, dia adalah seorang dosen fisika di Universitas Katolik Atma Jaya. Konsep metris berawal dari pemikiran bahwa suatu bilangan dapat dipecah-pecah menjadi elemen-elemen satuan, puluhan, ratusan, dan seterusnya...
Bila dibandingkan dengan sempoa, metris memang lebih ilmiah meskipun sama-sama menggunakan perhitungan mental aritmatika dan mengandalkan konsep asosiasi posisi. Perbedaannya, metris bisa menjelaskan langkah yang diambil karena menggunakan cara berpikir matematika seperti yang digunakan di sekolah pada umumnya.
Bila dibandingkan dengan sempoa, metris memang lebih ilmiah meskipun sama-sama menggunakan perhitungan mental aritmatika dan mengandalkan konsep asosiasi posisi. Perbedaannya, metris bisa menjelaskan langkah yang diambil karena menggunakan cara berpikir matematika seperti yang digunakan di sekolah pada umumnya.
Lalu? Mengapa metris bisa berkembang sekarang?? Kenapa tidak ada satu orang pun yang berpikir mengenai hal ini sebelumnya?
Cara berpikir metris memang sudah ada sebelumnya.. Bahkan sudah banyak beredar buku-buku mengenai cara menghitung cepat di toko-toko buku sekitar kita.. Namun, sayangnya pemikiran itu kurang universal. Jika kita menemukan kasus perkalian, misalnya, kita lebih condong menghitungnya secara vertikal (cara biasa). Cara kreatif kurang digunakan karena waktunya justru lebih lama, karena bilangan itu harus diolah terlebih dahulu. Kurang ada suatu terobosan yang membuat perhitungan lebih cepat.
Hal inilah yang disadari Ivan. Dalam metris dikenalkan suatu simbol pagar atau dituliskan dengan "|". Simbol ini menandakan pemisah antara ratusan, puluhan, satuan, dan sebagainya (akan dijelaskan di bawah). Simbol ini sendiri diperlakukan mirip dengan operasi perkalian dan penjumlahan. Dengan adanya notasi pagar ini sekaligus sifat-sifatnya yang dapat diturunkan secara matematis, metris menjadi bukan sekadar omong kosong belaka. Metris siap menjadi suatu terobosan metode hitung yang baru dan dipelajari setiap orang.. ^^
Cara berpikir metris memang sudah ada sebelumnya.. Bahkan sudah banyak beredar buku-buku mengenai cara menghitung cepat di toko-toko buku sekitar kita.. Namun, sayangnya pemikiran itu kurang universal. Jika kita menemukan kasus perkalian, misalnya, kita lebih condong menghitungnya secara vertikal (cara biasa). Cara kreatif kurang digunakan karena waktunya justru lebih lama, karena bilangan itu harus diolah terlebih dahulu. Kurang ada suatu terobosan yang membuat perhitungan lebih cepat.
Hal inilah yang disadari Ivan. Dalam metris dikenalkan suatu simbol pagar atau dituliskan dengan "|". Simbol ini menandakan pemisah antara ratusan, puluhan, satuan, dan sebagainya (akan dijelaskan di bawah). Simbol ini sendiri diperlakukan mirip dengan operasi perkalian dan penjumlahan. Dengan adanya notasi pagar ini sekaligus sifat-sifatnya yang dapat diturunkan secara matematis, metris menjadi bukan sekadar omong kosong belaka. Metris siap menjadi suatu terobosan metode hitung yang baru dan dipelajari setiap orang.. ^^
==============================================================
Sudah siap mengenal metris dan cara kerjanya? Namun, di blog ini hanya dibahas sebagian kecil saja. Perkalian adalah topik yang diutamakan. Sebelumnya, kita harus mengenal mengenai notasi pagar.
Metris menggunakan notasi pagar, yang didefinisikan sebagai berikut.
untuk 
dan seterusnya.
Supaya kita benar-benar mengenal notasi ini, perhatikan contoh di bawah:
| ● | 625 dapat dituliskan menjadi 6 || 25 karena 625 = 6*100 + 25 |
| ● | 625 juga dapat dituliskan menjadi 62 | 5 karena 625 = 62*10+5 |
| ● | 625 juga dapat dituliskan menjadi 6 | 2 | 5 karena 625= (6*10+ 2)*10+5 Perhatikan bahwa jika 625 ditulis menjadi 6 || 2 | 5 maka menjadi salah. |
| ● | Maksud dari 6 || 2 | 5 adalah (6*100+2)*10 + 5 = 6025. |
| ● | 12890900 dapat ditulis menjadi 128 | 9 ||| 9 || karena 12890900 = (((128*10+9)*1000)+9)*100 Akan tetapi, sebaiknya ditulis menjadi 128 | 9 ||| 900 untuk mencegah kebingungan.. Artinya, di sebelah tanda pagar harus terdapat angka. |
| ● | 34 | 56 = 396 Alasannya: 34 | 56 = 34*10+56 = 34*10+5*10+6 = (34+5)*10+6=39*10+6=39 | 6 = 396 |
| ● | 123 | 23 | 125 = 123 | 35 | 5 = 126 | 5 | 5 = 12655 Jelaskan jawaban ini dengan menjabarkannya.. |
Oleh karena notasi pagar mengindikasikan posisi dari bilangan maka dalam setiap pagar mewakili hanya satu digit bilangan di bagian kanannya. Bila ada lebih dari satu digit harus digeser ke kolom sebelah kirinya (Kita selalu bekerja dalam arah kanan ke kiri). Cara menggesernya dengan cara menambahkan bilangan 'yang berlebihan' ke kolom sebelah kirinya.
Perhatikan contoh di bawah:
4 | 20 | 25 = 4 | 20+2 | 5 = 4 | 22 | 5
Selanjutnya proses diulangi lagi sbb:
4+2 | 2 | 5 = 6 | 2 | 5
Setelah dalam notasi pagar hanya terdapat satu digit bilangan maka
perhitungan selesai. Sehingga :
6 | 2 | 5 = 625
Nah, bagaimana kalau ada pagar2? Pagar2 sendiri mengindikasikan bahwa di kolom kanannya harus terdapat 2 digit angka. Jangan lupa, sifat pergeseran tetap berlaku, dan kita selalu menggeser dari kanan ke kiri..
Perhatikan lagi contoh di bawah:Selanjutnya, sifat yang sama juga berlaku untuk pagar3, pagar4, dan seterusnya..
236 || 598 || 423 = 236 || 598 + 4 || 23 = 236 || 602 || 23
Selanjutnya proses diulangi lagi sbb:
236+6 || 02 || 23 = 242 || 02 || 23
Karena syarat bahwa "sebelah kanan pagar 2 harus terdapat 2 digit" sudah terpenuhi, maka jawaban sudah didapat.
242 || 02 || 23 = 2420223.
Mudah bukan? Selanjutnya, kita akan membahas mengenai perkalian. ^^
==============================================================
Di sini, setiap bilangan dipecah menjadi elemen satuan, puluhan, ratusan, dan sebagainya. Inilah yang membuat perkalian di metris menjadi lebih mudah. Di sini, akan diberikan berbagai rumus-rumus, namun sesungguhnya penurunannya sangat mudah.
PERKALIAN BILANGAN 2 DIGIT ab * cd
ab* cd = a*c | a*d + b* c | b*d
Bukti:
ab * cd = (a*10 + b)*(c*10+d)
______= (a*10 + b)*(c*10+d)
______= a*c*100 + a*d*10+b*c*10+b*d
______= a*c*100 + (a*d+b*c)*10+b*d
______= a*c | a*d + b* c | b*d
Contoh 1:ab* cd = a*c | a*d + b* c | b*d
Bukti:
ab * cd = (a*10 + b)*(c*10+d)
______= (a*10 + b)*(c*10+d)
______= a*c*100 + a*d*10+b*c*10+b*d
______= a*c*100 + (a*d+b*c)*10+b*d
______= a*c | a*d + b* c | b*d
87*69 = ....
Jawab
87*69 = 8*6 | 8*9 + 7*6 | 7*9
______= 48 | 72 + 42 | 63
______= 48 | 114 | 63
______= 48 | 120 | 3 (ingatlah konsep pergeseran yang sudah dijelaskan sebelumnya!!)
______= 60 | 0 | 3
______= 6003
KUADRAT BILANGAN 2 DIGIT
ab^2 = a^2 | 2*a*b | b^2
Bukti: (seharunya kamu bisa membuktikannya)
Contoh 2:ab^2 = a^2 | 2*a*b | b^2
Bukti: (seharunya kamu bisa membuktikannya)
98^2= ....
Jawab
98^2= 9^2 | 2*9*8 | 8^2
____= 81 | 144 | 64
____= 81 | 150 | 4
____= 96 | 0 | 4
____= 9604
KASUS PAGAR BOBOT 2, PAGAR BOBOT 3, DAN SETERUSNYA
(a|||bcd)^2 = a^2 ||| 2*a*(bcd) ||| (bcd)^2
Bukti: (uraikan sendiri..)
Contoh 3:Kita tahu bahwa (a|b)^2 = a^2 | 2*a*b | b^2. Kasus ini juga berlaku untuk pagar bobot 2, bobot 3, dan seterusnya.. Misalnya:
(a||bc)^2 = a^2 || 2*a*(bc) || (bc)^2(a|||bcd)^2 = a^2 ||| 2*a*(bcd) ||| (bcd)^2
Bukti: (uraikan sendiri..)
507^2= ....
Jawab:
507^2= (5 || 7)^2
_____= 5^2 || 2*5*7 || 7^2
_____= 25 || 70 || 49
_____= 257049
Contoh 4:
9006^2 = ....
Jawab cara I:
9006^2 = (9 ||| 6 )^2
_______= 9^2 ||| 2*9*6 ||| 6^2
_______= 81 ||| 108 ||| 36
_______= 81108036
Jawab cara II:
9006^2 = (90 || 6 )^2
_______= 90^2 || 2*90*6 || 6^2
_______= 8100 || 1080 || 36
_______= 8110 || 80 || 36
_______= 81108036
Contoh 5:
498^2 = ....
Jawab:
498^2 = (4 || 98)^2
______= 4^2 || 2* 4 * 98 || 98 ^2
______= 4^2 || 2* 4 * 98 || 9604 (Kita sudah mendapatkan 98^2 sebelumnya)
______= 16 || 784 || 9604
______= 16 || 880 || 04
______= 24 || 80 || 04
______= 248004
Perhatikan bahwa kita dapat menyelesaikan kuadrat bilangan berdigit 3 dengan memecahnya menjadi 2 bagian terlebih dahulu.. Namun, ternyata perhitungan 2*4*98 dianggap cukup memakan waktu. 98^2 pun harus dihitung terlebih dahulu.. Adakah cara yang lain? Sabar.. Lihat lanjutannya di bawah.
PERKALIAN BILANGAN 3 DIGIT
abc* def = a*d | a*e + b*d | a*f + b*e + c*d | b*f + c*e | c*f
Bukti: (caranya seperti sebelumnya)
abc* def = a*d | a*e + b*d | a*f + b*e + c*d | b*f + c*e | c*f
Bukti: (caranya seperti sebelumnya)
Contoh 6:
619*257 = ....
Jawab:
619*257 = 6*2 | 6*5 + 1*2 | 6*7 + 1*5 + 9*2 | 1*7 + 9*5 | 9*7
_______= 12 | 32 | 42 + 5 + 18| 52 | 63
_______= 12 | 32 | 65| 52 | 63
_______= 12 | 32 | 65| 52 | 63
_______= 12 | 32 | 65| 58 | 3
_______= 12 | 32 | 70 | 8 | 3
_______= 12 | 39 | 0 | 8 | 3
_______= 15 | 9 | 0 | 8 | 3
_______= 159083
KUADRAT BILANGAN 3 DIGIT
abc^2 = a^2 | 2*a*b | 2*a*c + b^2 | 2*b*c | c^2
Bukti: (You should know how...)
Contoh 7:abc^2 = a^2 | 2*a*b | 2*a*c + b^2 | 2*b*c | c^2
Bukti: (You should know how...)
498^2 = .... (kali ini gunakan cara yangberbeda)
Jawab:
498^2 = 4^2 | 2*4*9 | 2*4*8 + 9^2 | 2*9*8 | 8^2
_____= 16 | 72 | 64 + 81 | 144 | 64
_____= 16 | 72 | 145 | 144 | 64
_____= 16 | 72 | 145 | 150 | 4
_____= 16 | 72 | 160 | 0 | 4
_____= 16 | 88 | 0 | 0 | 4
_____= 24 | 8 | 0 | 0 | 4
_____= 248004
Ternyata, dapat dikerjakan dengan jauh lebih mudah dan cepat...
PANGKAT TIGA
ab^3 = a^3 | 3*a^2*b | 3*a*b^2 | b^3
Bukti: (Masih ingatkah dengan segitiga Pascal dan binomial Newton?)
ab^3 = a^3 | 3*a^2*b | 3*a*b^2 | b^3
Bukti: (Masih ingatkah dengan segitiga Pascal dan binomial Newton?)
Contoh 8:
74^3 = ....
Jawab:
74^3 = 7^3 | 3* 7^2*4 | 3*7*4^2 | 4^3
____= 343 | 588 | 336 | 64
____= 343 | 588 | 342 | 4
____= 343 | 622 | 2 | 4
____= 405 | 2 | 2 | 4
____= 405224
Perhitungan awal memang cukup rumit... Namun, bandingkan, lebih rumit mana antara cara metris dengan cara yang biasanya kalian lakukan..!!
PANGKAT EMPAT, LIMA, DAN SETERUSNYA
ab^4 = a^4 | 4*a^3*b | 6*a^2*b^2 | 4*a*b^3 | b^4
ab^5 = a^5 | 5*a^4*b | 10*a^3*b^2 | 10*a^2*b^3 | 5*a*b^4 | b^5
dan seterusnya.....
Bukti: (Masih ingatkah dengan segitiga Pascal dan binomial Newton? Perlukah diingatkan kembali?)
Contoh 9:ab^4 = a^4 | 4*a^3*b | 6*a^2*b^2 | 4*a*b^3 | b^4
ab^5 = a^5 | 5*a^4*b | 10*a^3*b^2 | 10*a^2*b^3 | 5*a*b^4 | b^5
dan seterusnya.....
Bukti: (Masih ingatkah dengan segitiga Pascal dan binomial Newton? Perlukah diingatkan kembali?)
26^4 = ....
Jawab:
26^4 = 2^4 | 4*2^3*6| 6*2^2*6^2 | 4*2*6^3 | 6^4
____= 16 | 192 | 864 | 1728 | 1296
____= 16 | 192 | 864 | 1857 | 6
____= 16 | 192 | 1049 | 7 | 6
____= 16 | 296 | 9 | 7 | 6
____= 45 | 6 | 9 | 7 | 6
____= 456976
Meskipun awalnya sedikit rumit, namun cara metrislah yang paling efektif dalam menghitung pangkat.. Bandingkan jika kalian mengalikan 26 sebanyak 4 kali... Bisa tewas... T_T
Referensi:
http://hendrydext.blogspot.com/2009/06/mengenal-metris-metode-horisontal.html
Artikel lainnya yang perlu anda baca:
Math Games Money
Game Interaktif Matematika
Penyelesaian Persegi Ajaib 3 X 3
Math Game Pita Mobius
Math Game Picture 1
0 komentar:
Posting Komentar